[2004年] 设函数f(x)连续，且f＇(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )．

admin2021-01-19 122

问题 [2004年] 设函数f(x)连续，且f＇(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )．

选项 A、f(x)在(0，δ)内单调增加
B、f(x)在(一δ，0)内单调减少
C、对任意x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)
D、对任意x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)

答案C

解析函数f(x)只在一点的导数大于零，不能推出单调性，可排除(A)，(B)．可用导数的定义及极限的保号性进一步分析讨论．
由导数定义，有f＇(0)=

＞0．又根据极限的保号性知，存在δ＞0，使当x∈(一δ，δ)且x≠0时，有

＞0．因而当x∈(0，δ)时，x＞0，则f(x)一f(0)＞0，即f(x)＞f(0)．当x∈(一δ，0)时，x＜0，则f(x)一f(0)＜0，即f(x)＜f(0)．仅(C)入选．

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