2. 考研
  3. 设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．

设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．

admin2017-07-26  72
问题 设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得
    ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．
选项
答案变量可分离的微分方程得F(x)=[*]，即(1一x)F(x)=c． 作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x)，用洛尔定理证明． 证 令 φ(x)=(1一x)F(x)=∫0xf(t)dt—x∫0xf(t)dt， 则φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且φ(0)=φ(1)=0． 由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，即 f(ξ)一∫0ξf(t)dt一ξf(ξ)=0， 故有∫0ξf(t)dt=(1一ξ)f(ξ)． 用反证法证明唯一性． 假若在(0，1)内存在点ξ1、ξ2，不妨设ξ1＜ξ2，使得 [*] =(1一ξ2)[f(ξ2)一f(ξ1)]一(ξ2一ξ1)f(ξ1)． 由已知条件可知，上式的左边大于零，而右边小于零矛盾，故点ξ是唯一的．
解析 记F(x)=∫0xf(t)dt，欲证存在点ξ，使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)F(x)=(1一x)F’(x)．
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考研数学三

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