设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．

admin2017-07-26 84

问题设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得
∫₀^ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．

选项

答案变量可分离的微分方程得F(x)=[*]，即(1一x)F(x)=c．作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x)，用洛尔定理证明．证令 φ(x)=(1一x)F(x)=∫₀^xf(t)dt—x∫₀^xf(t)dt，则φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且φ(0)=φ(1)=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，即 f(ξ)一∫₀^ξf(t)dt一ξf(ξ)=0，故有∫₀^ξf(t)dt=(1一ξ)f(ξ)．用反证法证明唯一性．假若在(0，1)内存在点ξ₁、ξ₂，不妨设ξ₁＜ξ₂，使得 [*] =(1一ξ₂)[f(ξ₂)一f(ξ₁)]一(ξ₂一ξ₁)f(ξ₁)．由已知条件可知，上式的左边大于零，而右边小于零矛盾，故点ξ是唯一的．

解析记F(x)=∫₀^xf(t)dt，欲证存在点ξ，使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)

F(x)=(1一x)F’(x)．

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考研数学三

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