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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
admin
2019-08-06
56
问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xfˊ(x)=f(x)+
x
2
(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
选项
答案
由题设,当x≠0时,[*] 据此并由f(x)在点x=0处的连续性,得 f(x)=[*]x
2
+Cx,x∈[0,1]. 又由已知条件2=∫
0
1
[*],即C=4-a.因此, f(x)=[*]ax
2
+(4-a)x. 旋转体的体积为V(a)=π∫
0
1
[f(x)]
2
dx=([*])π,令Vˊ(a)=([*])π=0,得a=-5.又Vˊˊ(A)=[*]>0,故当a=-5时,旋转体体积最小.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/d5J4777K
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考研数学三
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