设二次型f(x1，x2，…，xn)＝xT，且|A|

admin2018-07-26 53

问题设二次型f(x₁，x₂，…，x_n)＝x^T，且|A|<0．
证明：存在n维列向量ξ₀，使得ξ₀^TAξ₀＜0；

选项

答案设A有特征值λ_i，i＝0，1，2，…，n一1，则[*]. 可知A有奇数个特征值小于零．设λ₀＜0，其对应的特征向量为ξ₀，则有Aξ₀＝λ₀ξ₀，其中ξ₀≠0．两端左边乘ξ₀^T，得ξ₀^TAξ₀＝λ₀ξ₀^Tξ₀。因ξ₀≠0，故有ξ₀^Tξ₀＞0．又λ₀＜0，故ξ₀^Tξ₀＝λ₀ξ₀^Tξ₀＜0，得证存在n维列向量ξ₀，使ξ₀^TAξ₀＜0．

解析

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考研数学一

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