已知(X，Y)的联合概率密度为 (1)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度； (2)X与y是否相互独立？并说明理由； (3)求P(0＜X＜1/2|Y=1/2)．

admin2022-01-05 38

问题已知(X，Y)的联合概率密度为

(1)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度；
(2)X与y是否相互独立？并说明理由；
(3)求P(0＜X＜1/2|Y=1/2)．

选项

答案(1)如右图所示，当0＜y＜1时， [*] f_Y(y)=∫₀^yf(x，y)dx=∫₀^y21x² y³dx=7y⁶．故[*] 在Y=y的条件下，X的条件概率密度为 [*] 由f_X|Y(x|y)≠f_X(x)或f_X(x) f_Y(y)≠f(x，y)知，X与Y不独立．也可从直观上判定X与Y不独立．这是因为虽然f(x，y)取非零值的部分可分解为两个仅与x、仅与y有关的函数g₁(x)，g₂(y)的乘积，但f(x，y)取非零值的区域分解不出仅与x、仅与y有关的区间． [*]

解析先求出条件概率密度，然后利用它回答下面的两个问题。

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考研数学三

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已知(X，Y)的联合概率密度为 (1)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度； (2)X与y是否相互独立？并说明理由； (3)求P(0＜X＜1/2|Y=1/2)．

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