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[2012年] 已知,二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. 利用正交变换X=QY将f化为标准形.
[2012年] 已知,二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. 利用正交变换X=QY将f化为标准形.
admin
2019-07-23
37
问题
[2012年] 已知
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
(A
T
A)X的秩为2.
利用正交变换X=QY将f化为标准形.
选项
答案
令B=A
T
A=[*],则 [*] 故B的特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,λ
3
=0.解(2E-B)X=0,(6E-B)X=0,(0E-B)X=0得其基础解系分别为α
1
=[1,一1,0]
T
,α
2
=[1,1,2]
T
,α
3
=[1,1,一1]
T
. 因λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,α
1
,α
2
,α
3
必相互正交,将其单位化得 [*] 令Q=[β
1
,β
2
,β
3
],则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有Q
T
BQ=Q
T
(A
T
A)Q=A,其中对角矩阵为A=diag(2,6,0).这时,二次型f化为标准形 f(X)=X
T
(A
T
A)X=Y
T
ΛY=2y
1
2
+6y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e5c4777K
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考研数学一
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