设A是n阶实对称矩阵，且A2=0，证明A=0．

admin2016-10-20 26

问题设A是n阶实对称矩阵，且A²=0，证明A=0．

选项

答案(1)因为A^T=A，A²=0，即AA^T=0，而 [*] n，A的元素全是0，所以A=0． (2)由A^TA=A²=0，那么对任一个n维列向量α，有 α^TA^TAα=0，即(Aα)^T(Aα)=0，亦即｜｜Aa｜｜=0．可见Aα是零向量，即Aα=0．也就是任一个n维向量口都是齐次方程组Ax=0的解，因而Ax=0有n个线性无关的解，于是n≤n-r(A)，即r(A)≤0．又因r(A)≥0，所以r(A)=0，即A=0． (3)因为A是实对称矩阵，A必可对角化．设P^-1AP=A，则A=PAP^-1，由此可得A²=PA²P^-1．由于A²=0，故A²=0，由此可得A=0．所以，A=PAP^-1=0．

解析

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