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设A是n阶实对称矩阵,且A2=0,证明A=0.
设A是n阶实对称矩阵,且A2=0,证明A=0.
admin
2016-10-20
32
问题
设A是n阶实对称矩阵,且A
2
=0,证明A=0.
选项
答案
(1)因为A
T
=A,A
2
=0,即AA
T
=0,而 [*] n,A的元素全是0,所以A=0. (2)由A
T
A=A
2
=0,那么对任一个n维列向量α,有 α
T
A
T
Aα=0,即(Aα)
T
(Aα)=0,亦即||Aa||=0. 可见Aα是零向量,即Aα=0.也就是任一个n维向量口都是齐次方程组Ax=0的解,因而Ax=0有n个线性无关的解,于是n≤n-r(A),即r(A)≤0.又因r(A)≥0,所以r(A)=0,即A=0. (3)因为A是实对称矩阵,A必可对角化.设P
-1
AP=A,则A=PAP
-1
,由此可得A
2
=PA
2
P
-1
.由于A
2
=0,故A
2
=0,由此可得A=0.所以,A=PAP
-1
=0.
解析
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0
考研数学三
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