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  3. 设线性方程组 ① 与方程 x1＋2x2＋x3＝a－1 ② 有公共解，求a的值及所有公共解．

设线性方程组 ① 与方程 x1＋2x2＋x3＝a－1 ② 有公共解，求a的值及所有公共解．

admin2014-01-26  77
问题 设线性方程组     ①
与方程
    x1＋2x2＋x3＝a－1    ②
有公共解，求a的值及所有公共解．
选项
答案[详解1] 将①与②联立得非齐次线性方程组 [*]③ 若此非齐次线性方程组有解，则①与②有公共解，且③的解即为所求全部公共解．对③的增广矩阵[*]作初等行变换得 [*] 于是 当a＝1时，有[*]，方程组③有解，即①与②有公共解，其全部公共解即为③的通解，此时 [*] 方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为[*]， 所以，①与②的全部公共解为k[*]，k为任意常数． 当a＝2时，有[*]，方程组③有唯一解，此时 [*] 故方程组③的解为[*]， 即①与②有唯一公共解为[*]。 [详解2] 方程组的系数行列式为 [*] 当a≠1且a≠2时，①只有唯一零解，但它不是②的解，此时①与②没有公共解． 当a＝1时，[*]，k为任意常数． 将其代入方程x1＋2x2＋x3＝1—1知，k[*]也是②的解． 所以，①与②的全部公共解为k[*]，k为任意常数． 当a＝2时，[*]，k为任意常数， 将其代入方程x1＋2x2＋x3＝2—1，得k＝－1． 即①与②有唯一公共解为[*]
解析 两个方程有公共解就是将它们联立起来的非齐次线性方程组有解．
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考研数学二

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