设函数f(x)在[一2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4.试证:在(一2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f”(ξ)=0.

admin2019-08-06  46

问题 设函数f(x)在[一2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[f’(0)]2=4.试证:在(一2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f”(ξ)=0.

选项

答案由拉格朗日中值定理有 f(0)一f(-2)=2f’(ξ1),一2<ξ1<0, f(2)-f(0)=2f’(ξ2),0<ξ2<2. 由|f(x)|≤1知|f’(ξ1)|=[*] 令φ(x)=f2(x)+[f’(x)]2,则有φ(ξ1)≤2,φ(ξ2)≤2. 因为φ(x)在[ξ1,ξ2]上连续,且φ(0)=4,设φ(x)在[ξ1,ξ2]上的最大值在点ξ∈(ξ1,ξ2)[*](一2,2)处取到,则φ(ξ)≥4,且φ在[ξ1,ξ2]上可导,由费马定理有φ’(ξ)=0,即 2f(ξ).f’(ξ)+2f’(ξ).f"(ξ)=0. 因为|f(x)|≤1,且φ(ξ)≥4,所以f’(ξ)≠0,于是有f(ξ)+f"(ξ)=0,ξ∈(一2,2).

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ewJ4777K
0

最新回复(0)