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设线性方程组 已知[1,-1,1,-1]T是该方程组的一个解,试求: (1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x2=x3的全部解.
设线性方程组 已知[1,-1,1,-1]T是该方程组的一个解,试求: (1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x2=x3的全部解.
admin
2020-03-10
106
问题
设线性方程组
已知[1,-1,1,-1]
T
是该方程组的一个解,试求:
(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(2)该方程组满足x
2
=x
3
的全部解.
选项
答案
本题是含有两个参数的非齐次线性方程组,先由题设η
0
=[1,-1,1,-1]
T
是其特解求出λ与μ的关系,将方程组化为只含一个参数的方程组.事实上,将η
0
代入方程组①,得到-λ+μ=0,即λ=μ. 因方程组①是由4个未知数和3个方程组成的方程组,故只能用初等行变换,将其增广矩阵[*]化为阶梯形矩阵(含最高阶单位矩阵的矩阵)求其解. [*] (1)当λ≠1/2时,将[*]用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵,即 [*] 故[*]未知量的个数4,此时方程组有无穷多解,其全部解为 X=kα+η
1
=k[-1,1/2,-1/2,1]
T
+[0,-1/2,1/2,0]
T
, k为任意常数. 当λ=1/2时,则由[*]的表示式得到含最高阶单位矩阵的矩阵,即 [*] 因而方程组①的全部解为 X=[-1/2,1,0,0]
T
+k
1
[1,-3,1,0]
T
+k
2
[-1/2,-1,0,1]
T
, k
1
,k
2
为任意常数. (2)当λ≠1/2时,方程组①的全部解为 X=[-k,k/2-1/2,1/2-k/2,k]
T
, k为任意常数. 由x
2
=x
3
即k/2-1/2=1/2=k/2得到k=1.于是方程组①满足x
2
=x
3
的解为 η=[-1,0,0,1]
T
. 当λ=1/2时,方程组①的全部解为X=[-1/2+k
1
-k
2
/2,1-3k
1
-k
2
,k
1
,k
2
]
T
. 由x
2
=x
3
即k
1
=1-3k
1
-k
2
得到k
1
=(1-k
2
)/4,则λ=1/2时,方程组①满足x
2
=x
3
的全部解为 X=[-1/2,1,0,0]
T
+(1/4-k
2
/4)[1,-3,1,0]
T
+k
2
[-1/2,-1,0,1]
T
=[-1/4,1/4,1/4,0]
T
+k
2
[-3/4,-1/4,-1/4,1]
T
, k
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/f5D4777K
0
考研数学三
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