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(2009年试题,三(22))设(I)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3;(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
(2009年试题,三(22))设(I)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3;(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
admin
2013-12-18
56
问题
(2009年试题,三(22))设
(I)求满足Aξ
2
=ξ
1
,A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
,ξ
3
;(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ
2
,ξ
3
,证明ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
选项
答案
(I)因为[*]所以r(A)=2,故方程组Aξ
3
=ξ
1
有一个自由变量.令x
3
=2,由Ax=0可解得x
2
=一1,x
1
=1.求特解:令x
1
=x
2
=0.得x
3
=1.故有[*]其中k
1
为任意常数又[*].则r(A
2
)=1.故方程组A
2
ξ
3
=ξ
1
有两个自由变量.令x
2
=一1,由A
2
x=0得x=1,x
3
=0;令x
2
=0,则有x
1
=0,x
3
=1.求特解:令x
2
=x
3
=0,得[*].故最终得到[*]其中k
2
,k
3
为任意常数(Ⅱ)证明:由(I)可得[*]又ξ
1
=(一1,1,一2)T,则[*]故可知ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,命题得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/f934777K
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考研数学二
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