设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )

admin2018-07-26 47

问题设α₁，α₂，α₃均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α₁+kα₃，α₂+lα₃线性无关是向量组α₁，α₂，α₃线性无关的( )

选项 A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件

答案A

解析 1 记向量组(Ⅰ)：α₁+kα₃，α₂+lα₃；
向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，α₃．
(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：
[α₁+kα₃，α₂+lα₃]=[α₁，α₂，α₃]

当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α₁，α₂，α₃]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵

的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．
但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k=l=0时，(Ⅰ)线性无关即向量组α₁，α₂线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．
2 设有常数x₁，x₂，使得
x₁(α₁+kα₃)+x₂(α₂+lα₃)=0
即x₁α₁+x₂α₂+(x₁k+x₂l)α₃=0，
若(Ⅱ)线性无关，则x₁=x₂=x₁k+x₂l=0，故由定义知(Ⅰ)线性无关．但若(Ⅰ)线性无关，(Ⅱ)却未必线性无关，例如α₁=(1，0，0)^T，α₂=(0，1，0)^T，α₃=0，则(Ⅰ)线性无关，但(Ⅱ)却线性相关．因此，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要非充分条件．

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考研数学三

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求微分方程y’’+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解．

求y’’+4y’+4y=eax的通解，其中a为常数.

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

设A是n阶反对称矩阵，x是n维列向量，如Ax=Y，证明x与y正交．

设4阶矩阵A的秩为2，则r(A*)=_____．

已知A=，B是3阶非0矩阵，且BAT=0，则a=________．

已知α1=(1，2，3，4)T，α2=(2，0，-1，1)T，α3=(6，0，0，5)T，则向量组的秩r(α1，α2，α3)=_，极大线性无关组是_．

设矩阵A=，行列式｜A｜=-1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

冲砂一般要冲至人工井底或油层底界以下()。

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根据《建设工程施工劳务分包合同(示范文本)》(GF一2003—0214)，由劳务分包人负责办理并支付保险费的是()。

项目规模评估的方法主要有两类()。

在“对话一互动”式教学过程中，教师和学生的关系是()。

有如下两个类定义classXX{private：doublexl；protected：dOublex2；public：doublex3；}；classYY：prot

Atattoomaygiveparentsofchildrenwithfoodallergiessomepeaceofmindwhentheysendtheirkidsofftoschool.Yes,atat

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