设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )

admin2018-07-26 75

问题设α₁，α₂，α₃均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α₁+kα₃，α₂+lα₃线性无关是向量组α₁，α₂，α₃线性无关的( )

选项 A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件

答案A

解析 1 记向量组(Ⅰ)：α₁+kα₃，α₂+lα₃；
向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，α₃．
(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：
[α₁+kα₃，α₂+lα₃]=[α₁，α₂，α₃]

当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α₁，α₂，α₃]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵

的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．
但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k=l=0时，(Ⅰ)线性无关即向量组α₁，α₂线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．
2 设有常数x₁，x₂，使得
x₁(α₁+kα₃)+x₂(α₂+lα₃)=0
即x₁α₁+x₂α₂+(x₁k+x₂l)α₃=0，
若(Ⅱ)线性无关，则x₁=x₂=x₁k+x₂l=0，故由定义知(Ⅰ)线性无关．但若(Ⅰ)线性无关，(Ⅱ)却未必线性无关，例如α₁=(1，0，0)^T，α₂=(0，1，0)^T，α₃=0，则(Ⅰ)线性无关，但(Ⅱ)却线性相关．因此，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要非充分条件．

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考研数学三

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