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[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex,则f(x)=______.
[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex,则f(x)=______.
admin
2021-01-15
41
问题
[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2e
x
,则f(x)=______.
选项
答案
f(x)=e
x
解析
方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r
2
+r=2一(r+2)(r一1)=0,其特征根为r
1
=一2,r
2
=1.于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
,则f’(x)=C
1
e
x
-2C
2
e
-2x
,f’’(x)=C
1
e
x
+4C
2
e
-2x
.代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2e
x
,得到
C
1
e
x
+4C
2
e
-2x
+C
1
e
x
+C
2
e
-2x
=2C
1
e
x
+5C
2
e
-2x
=2e
x
,
故C
1
=1,C
2
=0,于是所求f(x)=e
x
.
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考研数学一
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