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设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=2E+ATA.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=2E+ATA.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
admin
2019-05-08
54
问题
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=2E+A
T
A.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
选项
答案
证一 下面证B为实对称矩阵,且对任意X≠0,有X
T
BX>0. 因B
T
=(λE+A
T
A)
T
=(λE)
T
+(A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B,故B为n阶实对称矩阵.又对任意的n维向量X,有 X
T
BX=X
T
(λE+A
T
A)X=λX
T
X+X
T
A
T
AX=λX
T
X+(AX)
T
(AX). 当X≠0时,有X
T
X>0,(AX)
T
AX≥0,因此当λ>0时,对任意X≠0,有 X
T
BX=λX
T
X+(AX)
T
(AX)>0, 则B为正定矩阵. 证二 为证B正定,下证B的特征值全大于零.设μ为B的任意一特征值,X为对应的特征向量,则BX=μX,即 (λE+A
T
A)X=μX,亦即 λX+A
T
AX=μX (X≠0). 两边左乘X
T
,得到 λX
T
X+λX
T
A
T
AX=λX
T
X+λ(AX)
T
(AX)=μX
T
X. 因X≠0,故X
T
X>0.又λ>0(题设),故λX
T
X>0,而(AX)
T
AX≥0,从而λ(AX)
T
(AX)≥0,故 λX
T
X+λ(AX)
T
(AX)>0, 即 μX
T
X>0. 而X
T
X>0,故μ>0,即B的特征值全大于零,故B正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fsJ4777K
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考研数学三
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