2. 考研
  3. 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，求f(x)的表达式．

设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，求f(x)的表达式．

admin2020-04-21  65
问题 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，求f(x)的表达式．
选项
答案由题意知，曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=fˊ(x0)·(x-x0)． 即y=f(x0)+fˊ(x0)·(x-x0)，该切线与x轴交点的横坐标为 [*] 由题设条件，知 [*] 由x0∈I的任意性，得fˊ(x)=1/8f2(x)． 解微分方程，得[*] 故f(x)=8/(4-x)，x∈I．
解析 先求切线方程，再由切线、x轴及直线x=x0所围区域面积得关于f(x)的一阶微分方程，解微分方程可得f(x)的表达式．
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考研数学二

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