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微分方程y″+y′=x2的特解形式为__________.
微分方程y″+y′=x2的特解形式为__________.
admin
2016-01-25
102
问题
微分方程y″+y′=x
2
的特解形式为__________.
选项
答案
y
*
=x(ax
2
+bx+c)
解析
先求出对应齐次方程的特征方程的根r
1
,r
2
,再根据方程右端所含的自由项f(x)的形式设出特解y
*
的形式.
(1)若f(x)=P
m
(x)e
λx
,则特解y
*
=x
k
Q
m
(x)e
λx
,其中Q
m
(x)是与P
m
(x)同次的待定多项式
(2)若f(x)=e
λx
[P
l
(x)cosωx+P
n
(x)sinωx],则设特解为
y
*
=x
k
e
λx
(x)sinωx],
其中
(x)是m次多项式,m=max{l,n},
对应其次方程为
r
2
+r=r(r+1)=0,
故r=0为其一特征根,而
f(x)=x
2
=x
2
e
0x
,
即f(x)中的指数为0.因指数0为其特征方程的单根,故特解形式为
y
*
=x(ax
2
+bx+c),
其中a,b,c为待定的系数.
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考研数学三
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