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设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
admin
2019-09-27
8
问题
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
选项
答案
令φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt. 因为φ(0)=φ(1)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得φ′(ξ)=0. 而φ′(x)=∫
0
x
f(t)dt+(x-1)f(x),故∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
解析
由∫
0
x
f(t)dt+(x-1)f(x)=0,得∫
0
x
f(t)dt+xf(x)-f(x)=0,从而
(x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt)′=0,辅助函数为φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt.
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0
考研数学一
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