2. 考研
  3. 设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为．记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n． 求：(Ⅰ)求Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)

设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为．记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n． 求：(Ⅰ)求Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)

admin2019-07-16  55
问题 设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为．记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n．
    求：(Ⅰ)求Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n；
    (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)；
    (Ⅲ)若c(Y1＋Yn)2是σ2的无偏估计量，求常数c．
选项
答案[*] (Ⅱ)Cov(Y1，Yn)＝Cov(X1－[*]一，Xn－[*])＝Cov(X1，Xn)－Cov(X1，[*])－Cov([*]，Xn)＋D([*]) [*] (Ⅲ)由题意，E[c(Y1＋Yn)2]＝σ2． 而E[c(Y1＋Yn)2]＝c[E(Y1)2＋E(Yn)2＋2E(Y1Yn)] 而E(Y1)＝E(X1－[*])＝E(X1)－E([*])＝0－0－0， ∴E(Y1)2＝DY1＋E(Y1)2＝DY1＝[*]σ2． 同理E(Yn)2＝[*]σ2． 又E(Y1Yn)＝Cov(Y1，Yn)＋E(Y1)E(Yn)＝Coy(Y1，Yn)＝[*]σ2 故得σ2＝E[c(Y1＋Yn)2]＝[*]， ∴c＝[*]．
解析
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考研数学三

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