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  3. [2003年] 设二次型 f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正

[2003年] 设二次型 f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正

admin2019-06-25  72
问题 [2003年]  设二次型
             f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3  (b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案解一 由矩阵A的特征多项式[*] 解得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3． 对于特征值λ1=λ2=2，解方程组(2E－A)X=0．因 [*] 可得两个线性无关且相互正交的特征向量为ξ1=[2，0，1]T，ξ2=[0，1，0]T． 对于特征值λ3=－3，易求得特征向量为ξ3=[1，0，－2]T． 由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，只需将其单位化，得 [*] 取矩阵[*]则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有[*]且二次型的标准形为f=2y12+2y22－3y32． 解二 由上题可得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=－3．下同解一(略)．
解析
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考研数学三

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