已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;

admin2018-07-27  59

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.
求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;

选项

答案当a=0时,A=[*]计算可得A的特征值为λ12=2,λ3=0.解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为 η1=(1,1,0)T,η2=(0,0,1)T 解齐次线性方程组(0E-A)x=0,得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为 η3=(-1,1,0)T 易见η1,η2,η3两两正交.将η1,η2,η3单位化得A的标准正交的特征向量为 e1=[*](1,1,0)T,e2=(0,0,1)T,e3=[*](-1,1,0)T 取Q=(e1,e2,e3),则Q为正交矩阵. 令x=Qy,得f的标准形为 f(x1,x2,x3)=λ1y122y223y32=2y12+2y22

解析
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