2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2018-07-27  72
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
选项
答案当a=0时，A=[*]计算可得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．解齐次线性方程组(2E－A)x=0，得A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为 η1=(1，1，0)T，η2=(0，0，1)T 解齐次线性方程组(0E－A)x=0，得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为 η3=(－1，1，0)T 易见η1，η2，η3两两正交．将η1，η2，η3单位化得A的标准正交的特征向量为 e1=[*](1，1，0)T，e2=(0，0，1)T，e3=[*](－1，1，0)T 取Q=(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵． 令x=Qy，得f的标准形为 f(x1，x2，x3)=λ1y12+λ2y22+λ3y32=2y12+2y22
解析
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考研数学三

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