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  3. 已知的一个特征向量． (1)试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵?说明理由．

已知的一个特征向量． (1)试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵?说明理由．

admin2016-01-11  49
问题 已知的一个特征向量．
(1)试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；
(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．
选项
答案(1)据定义，有Aξ=λξ，故[*]解之，得λ=一1，a=一3，b=0． (2)据(1)，[*]它的特征多项式[*]即λ0=一1是三重特征值，且由于秩r(λ0E—A)=r(A+E)=2，因而方程组(A+E)x=0的解空间是一维的，故A不能相似于对角阵．
解析 设特征向量ξ所对应的特征值为λ，则(λE一A)ξ=0，这是一个含λ，a和b的方程组，由此可解出λ，a和b．A能否相似于对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量，求出A的所有特征值并弄清有几个线性无关的特征向量即可判定．
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考研数学二

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