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假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数( ).
假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数( ).
admin
2019-05-08
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问题
假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数( ).
选项
A、是连续函数
B、至少有两个间断点
C、是阶梯函数
D、恰好有一个间断点
答案
D
解析
解一 首先由分布函数的定义求出分布函数F
Y
(y),然后判断.
F
Y
(y)=P(Y≤y)=P(min(X,2)≤y)=1-P(min(X,2)>y)=1-P(X>y,2>y).
当y<2时,
当y≥2时,P(X>y,2>y)=P(X>Y,
)=P(
)=0,因而
F
Y
(y)=1-P(X>y,2>y)=1-0=1.
又y≤0时,F
Y
(y)=0,故
可见,F
Y
(y)在y=2处有一个间断点.仅(D)入选.
解二 设X的概率密度、分布函数分别为f(x),F(x),则
因当x<2时,Y=X,而X服从指数分布,其分布函数为
而当y≥2时,由式③知,事件(Y≤y)为必然事件,故F
Y
(y)=P(Y≤y)=P(Ω)=1.因而
因
故F
Y
(y)在y=0处连续,但
因而F
Y
(y)在y=2处不连续.于是仅(D)入选.
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考研数学三
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