2. 考研
  3. 设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

admin2017-06-14  36
问题 设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．
选项
答案由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1， 进一步 A3α1=α1，A5α1=α1， 故 Bα1=(A5－4A3+E)α1 =A5α1－4A3α1+α1 =α1—4α1+α1 =－2α1， 从而α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量． 由B=A5－4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，得B的3个特征值为 μ1=－2，μ2=1，μ3=1． 设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又因为A是对称矩阵，得 B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即 α1Tα2=0， α1Tα3=0， 所以α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 故B的全部特征值的特征向量为 [*] 其中k1是不为零的任意常数，k2，k3是不同时为零的任意常数．
解析
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考研数学一

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