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设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f’’(x)≥0.证明: (b-a)f≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f’’(x)≥0.证明: (b-a)f≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]
admin
2018-01-23
60
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f’’(x)≥0.证明:
(b-a)f
≤∫
a
b
f(x)dx≤
[f(a)+f(b)]
选项
答案
由勒公式得f(x)=[*],其中ξ介于x与[*]之间,因为f’’(x)≥0,所以有f(x)≥[*] [*],两边积分得∫
a
b
f(x)dx≥(b-a)f[*] 令φ(x)=[*][f(x)+f(a)]-∫
a
x
f(t)dt,且φ(a)=0, φ’(x)=[*][f(x)+f(a)]+[*]f’(x)-f(x)=[*][f(x)-f(a)] [*](x-a)[f’(x)-f’(η)],其中a≤η≤x, 因为f’’(x)≥0,所以f’(x)单调不减,于是φ’(x)≥0(a≤x≤b), 由[*]得φ(b)≥0,于是∫
a
b
f(x)dx≤[*][f(a)+f(b)], 故(b-a)f[*]≤∫
a
b
f(x)dx≤[*][f(a)+f(b)].
解析
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考研数学三
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