设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f’’(x)≥0．证明： (b－a)f≤∫abf(x)dx≤[f(a)＋f(b)]

admin2018-01-23 35

问题设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f’’(x)≥0．证明：
(b－a)f

≤∫_a^bf(x)dx≤

[f(a)＋f(b)]

选项

答案由勒公式得f(x)＝[*]，其中ξ介于x与[*]之间，因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥[*] [*]，两边积分得∫_a^bf(x)dx≥(b－a)f[*] 令φ(x)＝[*][f(x)＋f(a)]－∫_a^xf(t)dt，且φ(a)＝0， φ’(x)＝[*][f(x)＋f(a)]＋[*]f’(x)－f(x)＝[*][f(x)－f(a)] [*](x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x，因为f’’(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)，由[*]得φ(b)≥0，于是∫_a^bf(x)dx≤[*][f(a)＋f(b)]，故(b－a)f[*]≤∫_a^bf(x)dx≤[*][f(a)＋f(b)]．

解析

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考研数学三

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