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  3. 证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)符随机变量X与自己独立．则必有常数C，使得P(X＝c)＝1．

证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)符随机变量X与自己独立．则必有常数C，使得P(X＝c)＝1．

admin2018-08-30  28
问题 证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)符随机变量X与自己独立．则必有常数C，使得P(X＝c)＝1．
选项
答案(1)χ＜a时，P(X≤χ)＝0，故P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)＝0； χ≥a时，P(X ≤χ)＝1，故P(X≤χ，Y≤y)＝P(Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)． [*]y∈R1即[*](χ，y)∈R2，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)， 即X与Y独立； (2)由已知得：[*](χ，y)∈R2．有P(X≤χ，X≤y)＝P(X≤χ)P(X≤y)记X的分布函数为F(χ)，则F(χ)＝P(X≤χ) 前式中令y＝χ即得F(χ)＝[F(χ)]2，可见F(χ)只能取0或1，又由F(－∞)＝0，F(＋∞)＝1，知必存存C(常数)，使得 [*] 故P{X＝C}＝1．
解析
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考研数学一

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