设有方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

admin2019-07-19 64

问题设有方程y’+P(x)y=x²，其中P(x)=

试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

选项

答案本题虽是基础题，但其特色在于当z的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数．当x≤1时，方程及其初值条件为[*]求解得 y=e^-∫1dx(∫x²e^∫1dxdx+C)=e^-x(∫x²e^xdx+C)=x²-2x+2+Ce^-x．由y(0)=2得C=0，故y=x²-2x+2．当x＞1时，方程为[*]，求解得 [*] 又y(x)在(-∞，+∞)内连续，有f(1^-)=f(1⁺)=f(1)，即1-2+2=[*] 所以 [*]

解析

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考研数学一

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设有方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

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