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(2001年试题,九)设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,β3=t1α1+t2α1,其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs,也为Ax=0的一个基
(2001年试题,九)设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,β3=t1α1+t2α1,其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs,也为Ax=0的一个基
admin
2014-05-20
55
问题
(2001年试题,九)设α
1
,α
2
……α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
,β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
,…,β
3
=t
1
α
1
+t
2
α
1
,其中t
1
,t
2
为实常数,试问t
1
,t
2
满足什么关系时,β
1
,β
2
,…,β
s
,也为Ax=0的一个基础解系.
选项
答案
根据题设β
i
(i=1,2,…,s)是α
1
,α
2
……α
s
的线性组合,因此β
i
(i=l,2,…,s)都是Ax=0的解,即Aβ
i
=0(i=1,2,…,s)题目待求结论要求β
i
(i=1,2,…,s)也是Ax=0的基础解系,结合已知,这等价于要求β
1
β
2
……β
t
,线性无关,于是设c
1
β
1
+c
2
β
2
+…+c
s
β
s
=0将已知β
i
(i=1,2,…,s)由α
i
(i=l,2,…,s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t
1
c
1
+t
2
c
s
)α
1
+(t
2
c
1
+t
1
c
2
)α
2
+…+(t
2
c
s-1
一1+t
1
c
s
)α
s
=0因为α
1
,α
2
……α
s
是线性无关的,因此得到关于c
1
,c
2
……c
s
的方程组如下[*]只要该方程组只有零解,即可得出t
1
,t
2
应满足的关系,该方程组行列式为[*]因此当s为偶数时,|t
1
|≠|t
2
|;当s为奇数时,t
1
≠一t
2
,有β
1
β
2
……β
s
也为Ax=0的一个基础解系.
解析
本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算,综合性很强.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iy54777K
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考研数学一
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