(2001年试题，九)设α1，α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基

admin2014-05-20 57

问题 (2001年试题，九)设α₁，α₂……α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β₃=t₁α₁+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数，试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s，也为Ax=0的一个基础解系．

选项

答案根据题设β_i(i=1，2，…，s)是α₁，α₂……α_s的线性组合，因此β_i(i=l，2，…，s)都是Ax=0的解，即Aβ_i=0(i=1，2，…，s)题目待求结论要求β_i(i=1，2，…，s)也是Ax=0的基础解系，结合已知，这等价于要求β₁β₂……β_t，线性无关，于是设c₁β₁+c₂β₂+…+c_sβ_s=0将已知β_i(i=1，2，…，s)由α_i(i=l，2，…，s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t₁c₁+t₂c_s)α₁+(t₂c₁+t₁c₂)α₂+…+(t₂c_s-1一1+t₁c_s)α_s=0因为α₁，α₂……α_s是线性无关的，因此得到关于c₁，c₂……c_s的方程组如下[*]只要该方程组只有零解，即可得出t₁,t₂应满足的关系，该方程组行列式为[*]因此当s为偶数时，｜t₁｜≠｜t₂｜；当s为奇数时，t₁≠一t₂，有β₁β₂……β_s也为Ax=0的一个基础解系．

解析本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算，综合性很强．

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