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正方体冰块放在空气中,其边长为m,在温度恒定的情况下,冰块的融化速度(即体积减少速度)与冰块的表面积成正比,比例常数为k>0.设冰块在融化过程中始终保持正方体形状.经过一个小时的融化,冰块的体积减小了四分之一.求冰块完全融化需要的时间.
正方体冰块放在空气中,其边长为m,在温度恒定的情况下,冰块的融化速度(即体积减少速度)与冰块的表面积成正比,比例常数为k>0.设冰块在融化过程中始终保持正方体形状.经过一个小时的融化,冰块的体积减小了四分之一.求冰块完全融化需要的时间.
admin
2021-08-05
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问题
正方体冰块放在空气中,其边长为m,在温度恒定的情况下,冰块的融化速度(即体积减少速度)与冰块的表面积成正比,比例常数为k>0.设冰块在融化过程中始终保持正方体形状.经过一个小时的融化,冰块的体积减小了四分之一.求冰块完全融化需要的时间.
选项
答案
记V=V(t)为冰块的体积,m(t)为冰块边长,按题意,冰块的融化速度为 [*] 又V=m
3
得到 [*] 即有[*],分离变量,得dm=—2kdt,两边积分,得 m=一2kt+m(0), (*) 令t=1,得 m(1)一m(0)=一2k. 当冰块完全融化时,m(T)=0,由(*)式,完全融化所需时间为 [*] 又[*]故 [*] 因此,冰块完全融化需要的时间约为11 h.
解析
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考研数学二
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