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  3. 设有Am×n，Bn×m，已知En－AB可逆，证明En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A．

设有Am×n，Bn×m，已知En－AB可逆，证明En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A．

admin2020-01-12  55
问题 设有Am×n，Bn×m，已知En－AB可逆，证明En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A．
选项
答案(En－BA)[En＋B(En－AB)－1A] ＝En－BA＋B(En－AB)－1A－BAB(En－AB)－1A ＝En－BA＋(B—BAB)(En－AB)－1A ＝EnBA＋B(En－AB)(En－AB)－1A ＝En－BA＋BA＝En． 故En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A
解析 只需证  [En一BA][En＋B(En一BA)－1A]＝E．
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考研数学三

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