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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (1)求矩阵A的特征值; (2)求可逆矩阵P使得P-1AP=∧.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (1)求矩阵A的特征值; (2)求可逆矩阵P使得P-1AP=∧.
admin
2016-05-09
67
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
(1)求矩阵A的特征值;
(2)求可逆矩阵P使得P
-1
AP=∧.
选项
答案
(1)由已知可得 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
,2α
2
+3α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记P
1
=(α
1
,α
2
,α
3
),B=[*],则有AP
1
=P
1
B. 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,即矩阵P
1
可逆,所以P
1
-1
AP
1
=B,因此矩阵A与B相似,则 |λE-B|=[*]=(λ-1)
2
(λ-4), 矩阵B的特征值是1,1,4,由相似矩阵的性质,故矩阵A的特征值为1,1,4. (2)由(E-B)χ=0,得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β
1
=(-1,1,0)
T
,β
2
=(-2,0,1)
T
;由(4E-B)χ=0,得对应于特征值λ=4的特征向量β
3
=(0,1,1)
T
. 令P
2
=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*],得P
2
-1
BP
2
=[*]. 则P
2
-1
P
1
-1
AP
1
P
2
=[*] 即当P=P
1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(-α
1
+α
2
,-2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
)时,有 P
-1
AP=∧=[*]
解析
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考研数学一
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