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  3. 设n维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是

设n维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是

admin2020-06-10  16
问题 设n维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是
选项 A、α1，α2，…，αs中任何r－1个向量必线性无关
B、α1，α2，…，αs中任何r个向量必线性无关
C、如果s>n，则αs必可由α1，α2，…，αs－1线性表示
D、如果r=n，则任何n维向量必可由α1，α2，…，αs线性表示
答案D
解析 r(α1，α2，…，αs)=rα1，α2，…，αs中一定存在r个向量线性无关，而任意r+1个向量必线性相关．
    当向量组的秩为r时，向量组中既可以有r－1个向量线性相关，也可以有r个向量线性相关，故(A)、(B)均错误．例如向量α1，α2，α3，α4分别为
    (1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，10，0，0)，
    其秩为3，其中α1，α4线性相关，α1，α2，α4也线性相关．该例说明，4维向量可以有2个向量线性相关，也可以有3个向量线性相关．但肯定有3个向量线性无关．
    当s>n时，表明α1，α2，…，αs必线性相关，此时有αi可以由α1，…，αi－1，αi+1…，…，αs线性表示，但αs不一定能由α1，…αs－1线性表示．故(C)不正确．
    若r(α1，α2，…，αs)=n，则对任何n维向量β必有r(α1，α2，…，αs，β)=n．故(D)正确．因此应选(D)．
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考研数学一

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