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  3. 设飞机以匀速ν(ν为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行，飞机在(a，0)(a＞0)处被发现，随即从原点(0，0)处发射导弹，导弹的速度为2ν，方向始终指向飞机，如图所示 求导弹飞行轨迹y＝y(x)的表达式；

设飞机以匀速ν(ν为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行，飞机在(a，0)(a＞0)处被发现，随即从原点(0，0)处发射导弹，导弹的速度为2ν，方向始终指向飞机，如图所示 求导弹飞行轨迹y＝y(x)的表达式；

admin2022-06-09  155
问题 设飞机以匀速ν(ν为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行，飞机在(a，0)(a＞0)处被发现，随即从原点(0，0)处发射导弹，导弹的速度为2ν，方向始终指向飞机，如图所示

求导弹飞行轨迹y＝y(x)的表达式；
选项
答案如图所示，设导弹在t(t≥0)时刻的坐标为P(x(t)，y(t))，飞机的位置为Q(a，vt) [*] 依题意，y=y(x)的切线斜率为y’(x)＝vt－y/a－x，即 (a－x)dy/dx＝vt－y ① 弧长[*]为 ∫0x[*]dx＝2vt ② 由式①和式②消去t，得 ∫0x[*]dx＝2[y＋(a－x)y’] 两边同时对x求导，得 [*]＝2(a－x)y’’ ③ 方程为可降阶的微分方程，不显含y，初始条件为y(0)＝0，y’(0)＝0令y’＝P，则y’’＝P’，方程③化为 [*]＝dx/2(a－x) 积分，得 ln(p＋[*])＝1n C1－1/2ln(a－x) 由p(0)＝y’(0)＝0，得C1＝[*]，故p＋[*]＝[*]，有理化并解出y’＝p＝1/2[*] 再积分，得 y(x)＝1/3(a－x)[*]＋C2 由y(0)＝0，得C2＝2/3a，故 y＝1/3(a－x)[*]＋2/3a
解析
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考研数学二

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