设f(x)为连续函数， (1)证明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx； (2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=f(sinx)dx； (3)求∫0π

admin2019-09-04 75

问题设f(x)为连续函数，
(1)证明：∫₀^πxf(sinx)dx=

∫₀^πf(sinx)dx=

f(sinx)dx；
(2)证明：∫₀^2πf(｜sinx｜)dx=

f(sinx)dx；
(3)求∫₀^π

选项

答案(1)令I=∫₀^πxf(sinx)dx，则 I=∫₀^πxf(sinx)dx[*]∫_π⁰(π-t)f(sint)(-dt)=∫₀^π(π-t)f(sint)dt =∫₀^π(π-x)f(sinx)dx=π∫₀^πf(sinx)dx-∫₀^πxf(sinx)dx=π∫₀^πf(sinx)dx-I，则I=∫₀^πxf(sinx)dx=[*]∫₀^πf(sinx)dx=[*]f(sinx)dx． (2)∫₀^2πf(｜sinx｜)dx=∫_-π^πf(｜sinx｜)dx=2∫₀^πf(｜sinx｜)dx =2∫₀^πf(sinx)dx=[*]f(sinx)dx． (3)[*]

解析

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考研数学三

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设函数f(x)连续可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，求．

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