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证明曲线积分 ∫(1,2)(3,4)(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy 在整个坐标面xOy上与路径无关,并计算积分值.
证明曲线积分 ∫(1,2)(3,4)(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy 在整个坐标面xOy上与路径无关,并计算积分值.
admin
2023-03-22
12
问题
证明曲线积分
∫
(1,2)
(3,4)
(6xy
2
-y
3
)dx+(6x
2
y-3xy
2
)dy
在整个坐标面xOy上与路径无关,并计算积分值.
选项
答案
解法1 因为 [*] 所以曲线积分与路径无关. ∫
(1,2)
(3,4)
(6xy
2
-y
3
)dx+(6x
2
y-3xy
2
)dy =[*](6xy
2
-y
3
)dx+[*](6x
2
y-3xy
2
)dy =∫
1
3
(6x·2
2
-2
3
)dx+∫
2
4
(6·3
2
·y-3·3·y
2
)dy =80+156=236. 解法2 由于被积表达式 Pdx+Qdy=(6xy
2
dx+6x
2
ydy)-(y
3
dx+3xy
2
dy) =d(3x
2
y
2
)-d(xy
3
)=d(3x
2
y
2
-xy
3
), 所以曲线积分与路径无关.设u(x,y)=3x
2
y
2
-xy
3
,则 ∫
(1,2)
(3,4)
(6xy
2
-y
3
)dx+(6x
2
y-3xy
2
)dy=(3x
2
y
2
-xy
3
)|
(1,2)
(3,4)
=236.
解析
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考研数学三
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