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证明曲线积分 ∫(1，2)(3，4)(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy 在整个坐标面xOy上与路径无关，并计算积分值．
证明曲线积分 ∫(1，2)(3，4)(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy 在整个坐标面xOy上与路径无关，并计算积分值．
admin
2023-03-22
12
问题
证明曲线积分
∫
(1，2)
(3，4)
(6xy
2
-y
3
)dx+(6x
2
y-3xy
2
)dy
在整个坐标面xOy上与路径无关，并计算积分值．
选项
答案
解法1 因为 [*] 所以曲线积分与路径无关． ∫
(1，2)
(3，4)
(6xy
2
-y
3
)dx+(6x
2
y-3xy
2
)dy =[*](6xy
2
-y
3
)dx+[*](6x
2
y-3xy
2
)dy =∫
1
3
(6x·2
2
-2
3
)dx+∫
2
4
(6·3
2
·y-3·3·y
2
)dy =80+156=236． 解法2 由于被积表达式 Pdx+Qdy=(6xy
2
dx+6x
2
ydy)-(y
3
dx+3xy
2
dy) =d(3x
2
y
2
)-d(xy
3
)=d(3x
2
y
2
-xy
3
)， 所以曲线积分与路径无关．设u(x，y)=3x
2
y
2
-xy
3
，则 ∫
(1，2)
(3，4)
(6xy
2
-y
3
)dx+(6x
2
y-3xy
2
)dy=(3x
2
y
2
-xy
3
)｜
(1，2)
(3，4)
=236．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/k8gD777K
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考研数学三
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