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设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y1(x)，Y2(x)，Y3(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y1(x)，Y2(x)，Y3(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
admin
2019-11-05
58
问题
设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y
1
(x)，Y
2
(x)，Y
3
(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C
1
与C
2
是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
选项
A、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
－C
1
)y
2
+(1－C
2
)y
3
。
B、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
－C
1
)y
2
+(C
1
—C
2
)y
3
。
C、 C
1
y
1
+(C
2
－C
1
)y
2
+(1－C
2
)y
3
。
D、C
1
y
1
+(C
2
－C
1
)y
2
+(C
1
－C
2
)y
3
。
答案
C
解析
将选项(C)改写为C
1
(y
1
－y
2
)+C
2
(y
2
－y
3
)+y
3
作为非齐次方程的解，只需要满足C
1
(y
1
－y
2
)+C
2
(y
2
－y
3
)是对应的齐次方程的通解，因此只需要证明(y
1
－y
2
)与(y
2
－y
3
)线性无关即可。假设(y
1
－y
2
)与(y
2
－y
3
)线性相关，即存在不全为零的数k
1
和k
2
使得k
1
(y
1
－y
2
)+k
2
(y
2
－y
3
)＝0，即 k
1
y
1
+(k
2
－k
1
)y
2
－k
2
y
3
＝0。由于y
1
，y
2
，y
3
线性无关，则根据上式可得k
1
＝k
2
＝0，与k
1
和k
2
不全为零矛盾，因此(y
1
－y
2
)与(y
2
－y
3
)线性无关，可见选项(C)是非齐次微分方程的通解。故选(C)。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kUS4777K
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