2. 考研
  3. 设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y1(x)，Y2(x)，Y3(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )

设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y1(x)，Y2(x)，Y3(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )

admin2019-11-05  28
问题 设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y1(x)，Y2(x)，Y3(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为(    )
选项 A、(C1+C2)y1+(C2－C1)y2+(1－C2)y3。
B、(C1+C2)y1+(C2－C1)y2+(C1—C2)y3。
C、 C1y1+(C2－C1)y2+(1－C2)y3。
D、C1y1+(C2－C1)y2+(C1－C2)y3。
答案C
解析 将选项(C)改写为C1(y1－y2)+C2(y2－y3)+y3作为非齐次方程的解，只需要满足C1(y1－y2)+C2(y2－y3)是对应的齐次方程的通解，因此只需要证明(y1－y2)与(y2－y3)线性无关即可。假设(y1－y2)与(y2－y3)线性相关，即存在不全为零的数k1和k2使得k1(y1－y2)+k2(y2－y3)＝0，即     k1y1+(k2－k1)y2－k2y3＝0。由于y1，y2，y3线性无关，则根据上式可得k1＝k2＝0，与k1和k2不全为零矛盾，因此(y1－y2)与(y2－y3)线性无关，可见选项(C)是非齐次微分方程的通解。故选(C)。
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考研数学一

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