2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续可导，且f(0)=0，证明：∫01f2(x)dx≤1/2∫01f’2(x)dx．

设f(x)在[0，1]上连续可导，且f(0)=0，证明：∫01f2(x)dx≤1/2∫01f’2(x)dx．

admin2022-10-25  62
问题 设f(x)在[0，1]上连续可导，且f(0)=0，证明：∫01f2(x)dx≤1/2∫01f’2(x)dx．
选项
答案显然f(x)=f(x)-f(0)=∫0xf’(t)dt，则f2(x)=[∫0xf’(t)dt]2=[∫0x1·f’(t)dt]2≤∫0x12dt·∫0xf’2(t)dtx∫0xf’2(t)dt≤x∫01f’2(t)dt=x∫01f’2(x)dx，故∫01f2(x)dx≤∫01xdx·∫01f’2(x)dx=1/2∫01f’2(x)dx．
解析
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考研数学三

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