2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解； ③若AX=0与BX=0同解，则秩(A

设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解； ③若AX=0与BX=0同解，则秩(A

admin2019-05-08  131
问题 设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：
    ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)；
    ②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解；
    ③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)；
    ④若秩(A)=秩(B)，则AX=0与BX=0同解．
那么，以上命题中正确的是(    )．
选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案B
解析 解一  由命题2．4．6．2知命题③正确．又命题①也正确．这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即n－秩(A)≤n－秩(B)，从而秩(A)≥秩(B)．
    解二  用排错法求之．取则易求得AX=0的通解为c1[0，0，1]T=[0，0，c1]T，BX=0的通解为
                c2[1，0，0]T+c3[0，1，0]T=[c2，c3，0]T，其中c1，c2，c3为任意常数．
    虽然秩(A)=2>秩(B)=1，但AX=0的解[0，0，c1]T不都是BX=0的解[c2，c3，0]T，故命题②错误．
    若取则易得AX=0的通解为k1[0，1]T=[0，k1]T，k1为任意常数；BX=0的通解为k2[1，0]T=[k2，0]T，k2为任意常数．虽然秩(A)=秩(B)=1，但AX=0与BX=0的解不相同，即不同解．命题④错误．
    下面证命题③正确．事实上，由命题①正确得秩(A)≥秩(B)．再由AX=0与ABX=0同解知，BX=0的解均是AX=0的解，则秩(B)≥秩(A)，于是秩(A)=秩(B)，命题③正确．仅(B)入选．
    注：命题2．4．6．2 AX=0和BX=0同解的充要条件是其基础解系相同，必要条件是秩(A)=秩(B)．
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考研数学三

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