设矩阵A=I一aaT，其中I是n阶单位矩阵．a是n维非零列向量，证明： A2=A的充要条件是aTa=1；

admin2016-03-26 39

问题设矩阵A=I一aa^T，其中I是n阶单位矩阵．a是n维非零列向量，证明：
A²=A的充要条件是a^Ta=1；

选项

答案A²=A<=>(I一AA^T)(I一aa^T)=I一aa^T<=>I一2AA^T+a(a^Ta)a^T=I一AA^T<=>一aa^T+(a^Ta)aa^T=0<=>(a^Ta一1)an^T=0(注意aa^T≠0)<=>a^Ta=1．

解析

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