2. 考研
  3. 证明下列命题成立： (1)若A是正交阵，则AT，A-1，A*均是正交阵． (2)矩阵A是正交阵的充要条件是|A|=±1，且|A|=1时，aij=Aij;|A|=一1时，aij=一Aij。

证明下列命题成立： (1)若A是正交阵，则AT，A-1，A*均是正交阵． (2)矩阵A是正交阵的充要条件是|A|=±1，且|A|=1时，aij=Aij;|A|=一1时，aij=一Aij。

admin2020-09-25  61
问题 证明下列命题成立：
  (1)若A是正交阵，则AT，A-1，A*均是正交阵．
  (2)矩阵A是正交阵的充要条件是|A|=±1，且|A|=1时，aij=Aij;|A|=一1时，aij=一Aij。
选项
答案(1)因为A正交，所以AT=A-1，且AT(AT)T=(ATA)T=E，故AT，A-1都是正交阵． 因为A正交，所以|A|=±1，A*=|A|．A-1，(A*)T=|A|．(A-1)T， 所以A*(A*)T=|A|2.A-1(A-1)T=E．所以A*是正交矩阵． (2)必要性[*]：A正交，AAT=E，因此|A|2=1，即|A|=±1． 当|A|=1时，AA*=E即A*=A-1=AT．所以有Aij=aij. 当|A|=一1时，AA*=一E，即A*=一A-1=一AT，所以有Aij=一aij. 充分性[*]：|A|=±1，AA*=|A|E， 当|A|=1时，aij=Aij，有A*=AT，故AAT=AA*=|A|E=E． 当|A|=一1时，aij=-Aij，有A*=一AT，AA*=一E，即-AAT=一E，故AAT=E，因 此A是正交阵．
解析
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考研数学三

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