设α1，α2，…,αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…,αi-1线性表示，求证：α1，α2，…,αm线性无关．

admin2013-01-23 85

问题设α₁，α₂，…,α_m为一个向量组，且α₁≠θ，每一个向量α_i(i>1)都不能由α₁，α₂，…,α_i-1线性表示，求证：α₁，α₂，…,α_m线性无关．

选项

答案用定义证明．假设存在一组数k₁，k₂，…,k_m使得 k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=θ，若k₁，k₂，…，k_m全为零，显然α₁，α₂，…,α_m线性无关；若k₁，k₂，…,k_m不全为零，对k₁，k₂，…,k_m从右向左看，设第一个不为零的数为k_i，即k_i≠0，k_i+1=0，…，k_m=0，于是有k₁α₁+k₂α₂+…+k_iα_i=θ．若i=1，则k₁α₁=θ，从而α₁=θ，与α₁≠θ矛盾；若i≠1，则α_i=-(1/k_i)(k₁α₁+k₂α₂+…+k_i-1α_i-1)，与每一个向量α_i(i>1)都不能由α₁，α₂，…，α_i-1线性表示矛盾，因此，k₁，k₂，…,k_m必须全为零，这说明α₁，α₂，…,α_m线性无关．

解析

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考研数学三

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