2. 考研
  3. (04年)设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且满足 ∫aχf(t) dt≥∫aχg(t)dt，χ∈[a，b]；∫abf(t)dt＝∫abg(t)dt 证明：∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ

(04年)设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且满足 ∫aχf(t) dt≥∫aχg(t)dt，χ∈[a，b]；∫abf(t)dt＝∫abg(t)dt 证明：∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ

admin2021-01-25  45
问题 (04年)设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且满足
    ∫aχf(t) dt≥∫aχg(t)dt，χ∈[a，b]；∫abf(t)dt＝∫abg(t)dt
    证明：∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ
选项
答案令F(χ)＝f(χ)＝(χ)，G(χ)＝∫aχF(t)dt， 由题设知 G(χ)≥0，χ∈[a，b]， G(a)＝G(b)＝0，G′(χ)＝F(χ)． 从而 ∫abχF(χ)dχ＝∫abχdG(χ)＝χG(χ)｜ab－∫abG(χ)dχ ＝－∫abG(χ)dχ． 由于G(χ)≥0，χ∈[a，b]，故有 －∫abG(χ)dχ≤0， 即∫abF(χ)dχ≤0． 因此∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ．
解析
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考研数学三

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