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(04年)设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,且满足 ∫aχf(t) dt≥∫aχg(t)dt,χ∈[a,b];∫abf(t)dt=∫abg(t)dt 证明:∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ
(04年)设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,且满足 ∫aχf(t) dt≥∫aχg(t)dt,χ∈[a,b];∫abf(t)dt=∫abg(t)dt 证明:∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ
admin
2021-01-25
45
问题
(04年)设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,且满足
∫
a
χ
f(t) dt≥∫
a
χ
g(t)dt,χ∈[a,b];∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt
证明:∫
a
b
χf(χ)dχ≤∫
a
b
χg(χ)dχ
选项
答案
令F(χ)=f(χ)=(χ),G(χ)=∫
a
χ
F(t)dt, 由题设知 G(χ)≥0,χ∈[a,b], G(a)=G(b)=0,G′(χ)=F(χ). 从而 ∫
a
b
χF(χ)dχ=∫
a
b
χdG(χ)=χG(χ)|
a
b
-∫
a
b
G(χ)dχ =-∫
a
b
G(χ)dχ. 由于G(χ)≥0,χ∈[a,b],故有 -∫
a
b
G(χ)dχ≤0, 即∫
a
b
F(χ)dχ≤0. 因此∫
a
b
χf(χ)dχ≤∫
a
b
χg(χ)dχ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mMx4777K
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考研数学三
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