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已给线性方程组 问k1和k2各取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下,试求出一般解。
已给线性方程组 问k1和k2各取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下,试求出一般解。
admin
2015-09-14
56
问题
已给线性方程组
问k
1
和k
2
各取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下,试求出一般解。
选项
答案
以A表示方程组的系数矩阵,以[A|B]表示增广矩阵,对增广矩阵[A|B]施行初等行变换: [*] 由此可知: (1)当k
1
≠2时,r(A)=r[A|B]=4,方程组有唯一解; (2)当k
1
=2时,有 [*] 所以,当k
1
=2且k
2
≠1时,则r(A)=3,r[A|B]=4,方程组无解; 当k
1
=2且k
2
=1时,则r(A)=r[A|B]=3<4,方程组有无穷多解,此时有 [*] 已将增广矩阵化成了简化行阶梯阵,选取x
1
,x
2
,x
3
为约束未知量,则x
3
为自由未知量,于是得方程组的用自由未知量表示的通解: [*] 取x
3
=c(c为任意常数),得方程组的一般解: x
1
=一8,x
2
=3—2c,x
3
=c,x
4
=2(c为任意常数)。
解析
本题考查带参数方程组的求解。注意这类问题要根据参数的不同取值进行分类讨论,分类的依据是使方程组系数矩阵与增广矩阵的秩得到确定,特别要注意“二分法”,例如本题的分法是:
这样分法,当然既无遗漏也不重复。
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考研数学三
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