已给线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。

admin2015-09-14 86

问题已给线性方程组

问k₁和k₂各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。

选项

答案以A表示方程组的系数矩阵，以[A|B]表示增广矩阵，对增广矩阵[A|B]施行初等行变换： [*] 由此可知： (1)当k₁≠2时，r(A)=r[A|B]=4，方程组有唯一解； (2)当k₁=2时，有 [*] 所以，当k₁=2且k₂≠1时，则r(A)=3，r[A|B]=4，方程组无解；当k₁=2且k₂=1时，则r(A)=r[A|B]=3＜4，方程组有无穷多解，此时有 [*] 已将增广矩阵化成了简化行阶梯阵，选取x₁，x₂，x₃为约束未知量，则x₃为自由未知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通解： [*] 取x₃=c(c为任意常数)，得方程组的一般解： x₁=一8，x₂=3—2c，x₃=c，x₄=2(c为任意常数)。

解析本题考查带参数方程组的求解。注意这类问题要根据参数的不同取值进行分类讨论，分类的依据是使方程组系数矩阵与增广矩阵的秩得到确定，特别要注意“二分法”，例如本题的分法是：

这样分法，当然既无遗漏也不重复。

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考研数学三

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