2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

admin2017-11-22  64
问题 设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n．
①求二次型xTAx的规范形．
②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．
选项
答案①由于A2=E，A的特征值λ应满足λ2=1，即只能是1和—1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2（后重）和0（n—k重），从而A的特征值是1（k重）和—1（n—k重）．A的正，负关系惯性指数分别为k和n—k，xTAx的规范形为 y12+y22+…+yk2一yk+12一…一yn2， ②B是实对称矩阵，由A2=E，有B= 3E+2A，B的特征值为5（k重）和1（n—k重）都是正数．因此B是正定矩阵． ∴ |B|=5k．1n—k= 5k．
解析
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考研数学三

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