设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22－y32其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

admin2021-01-25 44

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Py下的标准形为2y₁²+y₂²－y₃²其中P=(e₁，e₂，e₃)．若Q=(e₁，－e₃，e₂)，则f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

选项 A、2y₁²－y₂²+y₃²．
B、2y₁²+y₂²－y₃²．
C、2y₁²－y₂²－y₃²．
D、2y₁²+y₂²+y₃²．

答案A

解析设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e₁，e₂，e₃是矩阵A的标准正交的特征向量．对应的特征值依次是2，1，－1．即有
Ae₁=2e₁，Ae₂=2e₂，Ae₃=2e₃
从而有
AQ=A(e₁，－e₃，e₂)=(Ae₁，－Ae₃，Ae₂)=(2e₁，－(－e₃)，e₂)

矩阵Q的列向量e₁，－e₃，e₂仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，－1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q^－1=Q^T，上式两端左乘Q^－1，得
Q^－1AQ=Q^TAQ

从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y₁²－y₂²+y₃²．于是选A．

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考研数学三

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