(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解,其中a为常数; (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解.

admin2017-10-23  37

问题 (Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解;
  (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数;
  (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解,其中a为常数;
  (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解.

选项

答案(Ⅰ)对应齐次微分方程的特征方程为λ2一7λ+12=0,它有两个互异的实根λ1=3与λ2=4,所以其通解为 [*](x)=C1e3x+C2e4x,其中C1与C2是两个任意常数. 由于0不是特征根,所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B.代入方程可得A=[*]+C1e3x+C2e4x. [*] (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai,所以其通解为[*](x)=C1cosax+C2sinax.求原非齐次微分方程的特解,需分两种情况讨论: ①当a≠b时,特解的形式应为Aeosbx+Bsinbx,将其代入原方程可得 A=[*],B=0. 所以通解为y(x)=[*]cosbx+C1cosax+C2sinax,其中C1与C2是两个任意常数. ②当a=b时,特解的形式应为Axeosax+Bxsinax,代入原方程可得 A=0.B=[*]. 所以原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C1cosax+C2sinax,其中C1与C2是两个任意常数. (Ⅲ)特征方程是λ2+4λ+4=0,它有相等二实根λ12=一2,所以其对应齐次微分方程的通解为y(x)=(C1+C2x)e—2x.非齐次微分方程的特解的形式与a是不是特征根有关. 若a≠一2,则应设特解为y*(x)=Aeax,其中A是待定系数.代入方程可得 A(a2+4a+4)eax=eax→[*], 所以,当a≠一2时通解为y(x)=(C1+C2x)e—2x+[*],其中C1与C2是两个任意常数. 若a=一2,由于它是重特征根,则应设特解为y*=Ax2e—2x,其中A是待定系数.代入方程可得 A[(2—8x+4x2)+4(2x一2x2)+4x2]e—2x=e—2x,即 2Ae—2x=e—2x. 于是可得出A=[*].所以,当a=一2时通解为y(x)=(C1+C2x+[*]x2)e—2x(其中C1与C2是两个任意常数). (Ⅳ)方程的自由项是三次多项式f(x)=x3一x+2,方程的特征根满足2+1=0,从而是共轭复根λ=i和λ=一i.所以,对应齐次微分方程的通解是[*](x)=C1cosx+C2sinx,而非齐次微分方程的特解可取为y*(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,代入方程可得待定常数A,B,C,D应满足 Ax3+Bx2+(6A+C)x+2B+D=x3一x+2, 由此可确定A=1,B=0,C=一7,D=2.所以原方程的通解为 y(x)=C1cosx+C2sinx+x3一7x+2,其中C1与C2是两个任意常数.

解析
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