2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f″(x)|≤|(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明： |f′(x)|≤1/2(x∈[0，1]).

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f″(x)|≤|(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明： |f′(x)|≤1/2(x∈[0，1]).

admin2022-08-19  71
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f″(x)|≤|(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：
|f′(x)|≤1/2(x∈[0，1]).
选项
答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f′(x)x+1/2f″(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)， f(1)=f(x)+f′(x)(1-x)+1/2f″(ξ2)(1-x2)2，ξ2∈(x，1)， 两式相减，得f′(x)=1/2f″(ξ1)x2-1/2f″(ξ2)(1-x)2. 两边取绝对值，再由|f″(x)|≤1，得 |f′(x)|≤1/2[x2+(1-x)2]=(x-1/2)2+1/4≤1/2.
解析
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考研数学三

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