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设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
admin
2016-01-11
83
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)
=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
记A=2αα
T
+ββ
T
，因为α，β正交且均为单位向量，所以Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α，Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=β，于是λ
1
=2，λ
2
=1是矩阵A的特征值，又r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2．所以λ
3
=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nv34777K
0
考研数学二
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