设A是n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn是n维非零列向量，且αiTAαj=0(i≠j)，证明α1，α2，…，αm线性无关．

admin2016-10-20 28

问题设A是n阶正定矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维非零列向量，且α_i^TAα_j=0(i≠j)，证明α₁，α₂，…，α_m线性无关．

选项

答案如k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα₂=0，两边左乘α₁^TA，有 k₁α₁^TAα₁+k₂α₁^TAα₂+…+k_mα₁^TAα_m=0．由于A正定，α₁^TAα₁＞0及α₁^TAα_j=0(j≠1)，得k₁=0．类似可证k₂=k₃=…=k_m=0，即α₁，α₂，…，α_m线性无关．

解析

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