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设f(x)在[0,1]上连续,∫01f(x)dx=0,g(x)在[0,1]上有连续的导数,且在(0,1)内g’(x)≠0,∫01f(x)g(x)dx=0,试证:至少存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(0,1),使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,∫01f(x)dx=0,g(x)在[0,1]上有连续的导数,且在(0,1)内g’(x)≠0,∫01f(x)g(x)dx=0,试证:至少存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(0,1),使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2017-05-31
45
问题
设f(x)在[0,1]上连续,∫
0
1
f(x)dx=0,g(x)在[0,1]上有连续的导数,且在(0,1)内g’(x)≠0,∫
0
1
f(x)g(x)dx=0,试证:至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
∈(0,1),使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则F(0)=F(1)=0. 又0=∫
0
1
f(x)g(x)dx=∫
0
1
g(x)dF(x)=g(x)F(x)|
0
1
-∫
0
1
F(x)g’(x)dx=-∫
0
1
F(x)g’(x)dx 即有∫
0
1
F(x)g’(x)dx=0,由积分中值定理,存在点ξ∈(0,1),使得F(ξ)g’(ξ)=0,由g’(x)≠0知F(ξ)=0,0<ξ<1. 即F(0)=F(ξ)=F(1)=0, 由洛尔定理,存在点ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,1),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
在f(x)连续的条件下,欲证f(x)存在两个零点f(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)=0,可构造辅助函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt,用洛尔定理证明.因已知F(0)=F(1)=0.于是,问题的关键是再找一点ξ,使得F(ξ)=0,这样的点ξ可由已知条件得到.
在只知函数f(x)连续的条件下,证明f(x)在[a,b]内存在零点的问题,可以对f(x)用介值定理证明,也可对f(x)的原函数F(x)=∫
a
x
f(t)dt用洛尔定理证明.
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考研数学一
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