已知A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应的两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=-2对应的特征向量为ξ3。证明：A2是数量矩阵

admin2022-06-22 13

问题已知A是3阶矩阵，有特征值λ₁=λ₂=2，对应的两个线性无关的特征向量为ξ₁，ξ₂，λ₃=-2对应的特征向量为ξ₃。
证明：A²是数量矩阵

选项

答案因A有特征值λ₁=λ₌=2，λ₃=-2，故A²有特征值μ₁=μ₂=μ₃=4，对应的特征向量仍是ξ₁，ξ₂，ξ₃，且ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关。故存在可逆矩阵P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，使得 P^-1A²P=4E，A²=P(4E)P^-1=4E，即证得A²是数量矩阵。

解析

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